八下尖子生培优系列 ——勾股定理(8)
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【例题】如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.
(1)若∠BAC=90°,求AE的长;
(2)若DF=0.7,求证:△ABC为直角三角形.
【分析】(1)由DE是BC的垂直平分线,可考虑连接CE,可利用垂直平分线的性质,设AE=x,则BE=CE=x,如下图:
由于∠BAC=900,则在Rt△ACE中,利用勾股定理可得:(如下图示)
x2+32=(4﹣x)2,
解得x=7/8,即AE=7/8.
具体过程如下:
解:连接CE,设AE=x,
∵AB=4,∴BE=4﹣x,
∵DE是BC的垂直平分线,
∴CE=BE=4﹣x,
∵∠BAC=90°,AC=3,
∴x2+32=(4﹣x)2,
∴x=7/8,即AE=7/8.
(2)由于AB和AC均为已知,因此要证△ABC为直角三角形,则可通过计算出BC的长,再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形。
由于DE垂直平分BC,因此可得到BD=CD,又DF=0.7与BD、CD均有联系,因此可设BD= CD=y,从而得到BF=y+0.7,CF=y-0.7,如下图示:
分别在Rt△ABF和Rt△ACF中,由勾股定理,得:AB2﹣BF2=AC2﹣CF2=AF2,即42﹣(y+0.7)2=32﹣(y﹣0.7)2,解得y=2.5,所以BC=5,又因AC2+AB2=…=25,BC2=25,因此△ABC为直角三角形.
具体过程如下:
(2)证明:如下图示:
设BD=CD=y,则BC=2y‘
BF=y+0.7,CF=y﹣0.7,
∵AF⊥BC,
∴AB2﹣BF2=AC2﹣CF2=AF2,
∴42﹣(y+0.7)2=32﹣(y﹣0.7)2,
∴y=2.5,∴BC=5,
∵32+42=52,
∴△ABC为直角三角形.
【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识,结合线段垂直平分线的性质.
【拓展】如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.
(1)若AE=7/8,求证△ABC为直角三角形;
(2)若△ABC为直角三角形,求DF的长.
【提示】(1)证法与例题类似;(2)DF=0.7.
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