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八下尖子生培优系列 ——勾股定理(8)

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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【例题】如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.

(1)若∠BAC=90°,求AE的长;

(2)若DF=0.7,求证:△ABC为直角三角形.

分析(1)由DE是BC的垂直平分线,可考虑连接CE,可利用垂直平分线的性质,设AE=x,则BE=CE=x,如下图:

      由于∠BAC=900,则在Rt△ACE中,利用勾股定理可得:(如下图示)

x2+32=(4﹣x)2

解得x=7/8,即AE=7/8.

具体过程如下:

解:连接CE,设AE=x,

∵AB=4,∴BE=4﹣x,

∵DE是BC的垂直平分线,

∴CE=BE=4﹣x,

∵∠BAC=90°,AC=3,

∴x2+32=(4﹣x)2

∴x=7/8,即AE=7/8.



(2)由于AB和AC均为已知,因此要证△ABC为直角三角形,则可通过计算出BC的长,再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形。

      由于DE垂直平分BC,因此可得到BD=CD,又DF=0.7与BD、CD均有联系,因此可设BD= CD=y,从而得到BF=y+0.7,CF=y-0.7,如下图示:

      分别在Rt△ABF和Rt△ACF中,由勾股定理,得:AB2﹣BF2=AC2﹣CF2=AF2,即42﹣(y+0.7)2=32﹣(y﹣0.7)2,解得y=2.5,所以BC=5,又因AC2+AB2=…=25,BC2=25,因此△ABC为直角三角形.

      具体过程如下:
(2)证明:如下图示:

设BD=CD=y,则BC=2y‘

BF=y+0.7,CF=y﹣0.7,

∵AF⊥BC,

∴AB2﹣BF2=AC2﹣CF2=AF2

∴42﹣(y+0.7)2=32﹣(y﹣0.7)2

∴y=2.5,∴BC=5,

∵32+42=52

∴△ABC为直角三角形.

点评本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识,结合线段垂直平分线的性质.



【拓展】如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.

(1)若AE=7/8,求证△ABC为直角三角形;

(2)若△ABC为直角三角形,求DF的长.

【提示】(1)证法与例题类似;(2)DF=0.7.



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